Modèle de verhulst

La figure suivante montre la même courbe logistique ainsi que les données réelles du recensement américain par 1940. Cela met l`accent sur la capacité prédictive remarquable du modèle pendant une période prolongée où les hypothèses modestes du modèle étaient au moins approximativement vraies. Une autre application de la courbe logistique est en médecine, où l`équation différentielle logistique est utilisée pour modéliser la croissance des tumeurs. Cette application peut être considérée comme une extension de l`utilisation mentionnée ci-dessus dans le cadre de l`écologie (voir aussi la courbe logistique généralisée, permettant plus de paramètres). Dénotant avec X (t) la taille de la tumeur au temps t, sa dynamique est régie par: c.-à-d. Si le taux moyen de mortalité induite par le traitement est supérieur au taux de prolifération de base, alors il y a l`éradication de la maladie. Bien sûr, il s`agit d`un modèle trop simplifié de la croissance et de la thérapie (par exemple, il ne prend pas en compte le phénomène de la résistance clonale). Les fonctions logistiques sont utilisées dans la régression logistique pour modéliser la façon dont la probabilité p d`un événement peut être affectée par une ou plusieurs variables explicatives: un exemple serait d`avoir le modèle pour déterminer si un ensemble donné de données peut être modélisé par le différentiel logistique équation, la population américaine ne peut pas maintenir une croissance exponentielle indéfiniment. Le modèle Malthus donne des projections irréalistes de la population au cours du siècle prochain.

Nous aimerions utiliser le modèle Verhulst au lieu de faire de telles projections. Certains démographes et analystes environnementaux ont proposé des millions de dollars comme limite asymptotique de la population américaine. En acceptant cette valeur, nous aimerions trouver la constante dans l`équation de Verhulst qui modélise la croissance de la population de 1790 à 1990, puis projeter le modèle au cours des prochains siècles. La régression logistique et d`autres modèles log-linéaires sont également couramment utilisés dans l`apprentissage automatique. Une généralisation de la fonction logistique à plusieurs entrées est la fonction d`activation SoftMax, utilisée dans la régression logistique multinomiale. Verhulst, P.-F. “Recherches mathématiques sur la loi d`accroissement de la population.” Nouv. mém. de l`Academie Royale des SCI. et belles-lettres de Bruxelles 18, 1-41, 1845. Le comportement qualitatif est facilement compréhensible en termes de ligne de phase: le dérivé est 0 lorsque la fonction est 1; et la dérivée est positive pour f entre 0 et 1, et négative pour f au-dessus de 1 ou moins de 0 (bien que les populations négatives ne s`accordent généralement pas avec un modèle physique).

Cela donne un équilibre instable à 0, et un équilibre stable à 1, et donc pour toute valeur de fonction supérieure à 0 et inférieure à 1, elle croît à 1. Laisser P représenter la taille de la population (N est souvent utilisé dans l`écologie à la place) et t représenter le temps, ce modèle est formalisé par l`équation différentielle: est appelé le modèle de croissance logistique ou le modèle Verhulst. Le mot «logistique» n`a pas de signification particulière dans ce contexte, sauf qu`il est communément admis. Le deuxième nom honore P. F. Verhulst, un mathématicien belge qui a étudié cette idée au XIXe siècle.

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